【数据结构与算法07】二叉树

算法 二叉树
数据结构与算法
发布日期:   2022-06-21
更新日期:   2022-06-21
文章字数:   2.7k
阅读时长:   11 分
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二叉树

1. 为什么需要树这种数据结构？

1) 数组存储方式的分析

优点：通过下标方式访问元素，速度快。对于有序数组，还可使用二分查找提高检索速度。

缺点：如果要检索具体某个值，或者插入值(按一定顺序)会整体移动，效率较低 [示意图]

画出操作示意图：

image-20220505113058983.png

2) 链式存储方式的分析

优点：在一定程度上对数组存储方式有优化(比如：插入插入一个数值节点，只需要将插入节点，链接到链表中即可，删除效率也很好)。

缺点：在进行检索时检索时，效率仍然较低，比如(检索某个值，需要从头节点开始遍历)

操作示意图：

image.png

3) 树存储方式的分析

能提高数据存储，读取的效率,

比如利用 二叉排序树(Binary Sort Tree)，既可以保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入，删除，修改的速度。
案例: [7, 3, 10, 1, 5, 9, 12]

image.png

2. 树示意图

image.png

树的常用术语(结合示意图理解):

  • 节点
  • 根节点
  • 父节点
  • 子节点
  • 叶子节点 (没有子节点的节点)
  • 节点的权(节点值)
  • 路径(从 root 节点找到该节点的路线)
  • 层
  • 子树
  • 树的高度(最大层数)
  • 森林 :多颗子树构成森林

3. 二叉树的概念

  1. 树有很多种，每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树。
  2. 二叉树的子节点分为左节点和右节点
  3. 示意图

image.png

  1. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数，则我们称为满二叉树

image.png

  1. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为完全二叉树

image.png

4. 二叉树遍历

使用前序，中序和后序对下面的二叉树进行遍历.

1)前序遍历: 先输出父节点，再遍历左子树和右子树

2)中序遍历: 先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树

3)后序遍历: 先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点

小结: 看输出父节点的顺序，父节点最先输出的是前序，父节点中间输出的中序，父节点最后输出的是后序

5. 二叉树应用实例

二叉树遍历的思路

image.png

二叉树查找指定节点

要求

1)请编写前序查找，中序查找和后序查找的方法。

2)并分别使用三种查找方式，查找 heroNO = 5 的节点

3)并分析各种查找方式，分别比较了多少次

4)思路分析图解

image.png

二叉树删除指定节点

要求

1)如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点

2)如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树

3)测试，删除掉 5 号叶子节点 和 3 号子树

4)思路分析图

image.png

代码实现
1、定义BinaryTree 二叉树

//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree{
    //定义一个根节点
    private HeroNode root;

    public BinaryTree() {
    }

    public BinaryTree(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    public HeroNode getRoot() {
        return root;
    }

    public void setRoot(HeroNode root) {
        this.root = root;
    }

    //删除结点
    public void delNode(int no){
        if(this.root != null){
            //如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
            if(this.root.getNo() == no){
                this.root = null;
            }else{
                this.root.delNode(no);
            }
        }else{
            System.out.println("空树，不能删除~");
        }
    }

    //前序遍历
    public void preOrder(){
        if(this.root != null){
            this.root.preOrder();
        }else{
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }
    //中序遍历
    public void infixOrder(){
        if(this.root != null){
            this.root.infixOrder();
        }else{
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }
    //后序遍历
    public void postOrder(){
        if(this.root != null){
            this.root.postOrder();
        }else{
            System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
        }
    }

    //前序遍历查找
    public HeroNode preOrderSearch(int no){
        if(this.root != null){
            return this.root.preOrderSearch(no);
        }else{
            return null;
        }
    }
    //中序遍历查找
    public HeroNode infixOrderSearch(int no){
        if(this.root != null){
            return this.root.infixOrderSearch(no);
        }else{
            return null;
        }
    }
    //后序遍历查找
    public HeroNode postOrderSearch(int no){
        if(this.root != null){
            return this.root.postOrderSearch(no);
        }else{
            return null;
        }
    }
}

2、定义 HeroNode 树结点

//定义 HeroNode 树结点
class HeroNode{
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left;
    private HeroNode right;

    public HeroNode() {
    }

    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    public int getNo() {
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(HeroNode left) {
        this.left = left;
    }

    public HeroNode getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(HeroNode right) {
        this.right = right;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }

    //递归删除结点
    //1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
    //2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
    public void delNode(int no){
        /*  思路：
		 * 	1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否是需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
			2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
			3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
			4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
			5.  如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.
		 */
        if(this.left != null && this.left.getNo() == no){
            this.left = null;
            return;
        }
        if(this.right != null && this.right.getNo() == no){
            this.right = null;
            return;
        }
        if(this.left != null){
            this.left.delNode(no);
        }
        if(this.right != null){
            this.right.delNode(no);
        }
    }

    //编写前序遍历的方法
    public void preOrder(){
        System.out.println(this);       //输出节点
        //递归向左子节点遍历
        if(this.left != null){
            this.left.preOrder();
        }
        //递归向右子节点遍历
        if(this.right != null){
            this.right.preOrder();
        }
    }

    //编写中序遍历的方法
    public void infixOrder(){
        //递归向左子节点遍历
        if(this.left != null){
            this.left.infixOrder();
        }
        //输出父节点
        System.out.println(this);

        //递归向右子节点遍历
        if(this.right != null){
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    //编写后序遍历的方法
    public void postOrder(){
        //递归向左子节点遍历
        if(this.left != null){
            this.left.postOrder();
        }
        //递归向右子节点遍历
        if(this.right != null){
            this.right.postOrder();
        }

        //输出父节点
        System.out.println(this);
    }

    /**
     * //前序遍历查找节点
     * @param no    节点id
     * @return 返回找到的节点，否则返回null
     */
    public HeroNode preOrderSearch(int no){
        System.out.println("进入前序遍历");
        //比较当前节点是不是
        if(this.getNo() == no){
            return this;
        }

        //1、如果当前节点不是目标 判断它的左子节点（如果不为空）递归前序查找
        //2、如果左递归前序查找，找到节点，则返回
        HeroNode resNode = null;
        if(this.left != null){
            resNode = this.left.preOrderSearch(no);
        }
        if(resNode != null){    //找到了 直接返回
            return resNode;
        }
        //左递归没有找到 继续向右递归查找
        if(this.right != null){
            resNode = this.right.preOrderSearch(no);
        }

        //不管有没有找到都返回
        return resNode;
    }

    //中序遍历查找节点
    public HeroNode infixOrderSearch(int no){
        //1、当前节点的左子节点（如果不为空）递归前序查找
        //2、如果左递归前序查找，找到节点，则返回
        HeroNode resNode = null;
        if(this.left != null){
            resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
        }
        if(resNode != null){    //找到了 直接返回
            return resNode;
        }
        System.out.println("中序遍历查找~");
        //比较当前节点是不是
        if(this.getNo() == no){
            return this;
        }

        //左递归没有找到 继续向右递归查找
        if(this.right != null){
            resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
        }

        //不管有没有找到都返回
        return resNode;
    }

    //后序遍历查找节点
    public HeroNode postOrderSearch(int no){

        //1、当前节点的左子节点（如果不为空）递归前序查找
        //2、如果左递归前序查找，找到节点，则返回
        HeroNode resNode = null;
        if(this.left != null){
            resNode = this.left.postOrderSearch(no);
        }
        if(resNode != null){    //左递归找到了 直接返回
            return resNode;
        }

        //左递归没有找到 继续向右递归查找
        if(this.right != null){
            resNode = this.right.postOrderSearch(no);
        }
        if(resNode != null){    //右递归找到了 直接返回
            return resNode;
        }
        System.out.println("后序遍历查找~");
        //比较当前节点是不是
        if(this.getNo() == no){
            return this;
        }

        //不管有没有找到都返回
        return resNode;
    }
}

3、定义测试方法

public static void main(String[] args) {
//        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//        HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
//        HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
//        HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
//        HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
//        HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");
//        binaryTree.setRoot(root);
//        root.setLeft(node2);
//        root.setRight(node3);
//        node3.setLeft(node5);
//        node3.setRight(node4);

        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(3, "吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(6, "卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(8, "林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(10, "关胜");
        HeroNode node6 = new HeroNode(14, "李逵");
        binaryTree.setRoot(root);
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node2.setLeft(node4);
        node2.setRight(node5);
        node3.setLeft(node6);


        //测试前序遍历
        System.out.println("前序遍历");
		binaryTree.preOrder();
        //测试中序遍历
		System.out.println("中序遍历");
		binaryTree.infixOrder();
        //测试后序遍历
		System.out.println("后序遍历");
		binaryTree.postOrder();


        //前序遍历
        //前序遍历的次数 ：4
//		System.out.println("前序遍历方式....");
//		HeroNode resNode = binaryTree.preOrderSearch(5);
//		if (resNode != null) {
//			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
//		} else {
//			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
//		}

        //中序遍历查找
        //中序遍历3次
//		System.out.println("中序遍历方式~~~");
//		HeroNode resNode = binaryTree.infixOrderSearch(5);
//		if (resNode != null) {
//			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
//		} else {
//			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
//		}

        //后序遍历查找
        //后序遍历查找的次数  2次
//		System.out.println("后序遍历方式~~~");
//		HeroNode resNode = binaryTree.postOrderSearch(5);
//		if (resNode != null) {
//			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
//		} else {
//			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
//		}

        //3、测试删除节点
//        System.out.println("前序遍历");     // 1,2,3,5,4
//        binaryTree.preOrder();
//        binaryTree.delNode(2);
//        System.out.println("删除节点之后的前序遍历");
//        binaryTree.preOrder();      //1 2
    }

6. 思考进阶

思考题(课后练习)

1)如果要删除的节点是非叶子节点，现在我们不希望将该非叶子节点为根节点的子树删除，需要指定规则, 假如规定如下:

2)如果该非叶子节点 A 只有一个子节点 B，则子节点 B 替代节点 A

3)如果该非叶子节点 A 有左子节点 B 和右子节点 C，则让左子节点 B 替代节点 A。

4)请大家思考，如何完成该删除功能, 老师给出提示.(课后练习)

5)后面在讲解 二叉排序树时，在给大家讲解具体的删除方法

image.png

文章作者: CoderXiong
文章链接: http://bfd2018.github.io/2022/06/21/shu-ju-jie-gou-yu-suan-fa/shu-ju-jie-gou-yu-suan-fa-07-er-cha-shu/
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